NEWTON’UN İKİNCİ KANUNUNUN DÜZGÜN DAiRESEL HAREKETE UYGULANMASI

Periyot: Düzgün dairesel hareket yapan cismin , bir tam devir yapması için geçen zamana periyot denir , T ile gösterilir.

Frekans: Düzgün dairesel hareket yapan cismin bir saniyedeki dönme sayısına frekans denir, f ile gösterilir. Periyotla frekans arasında T.f = 1 bağıntısı vardır. Buradan f = 1/T  olur.

Konum vektörü ( r ) : Çemberin merkezini cisme birleştiren yarıçap vektörüdür. Yönü daima merkezden cisme doğrudur.Dairesel hareket yapan  bir cisim yol alır. Yarıçap vektörü açı tarar. O nedenledir ki , dairesel harekette , çizgisel hız ve açısal hız olmak üzere iki çeşit hız tanımlanır.

Çizgisel hız ( v ) :  Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin daire çevresinde birim zamanda aldığı yola çizgisel hız denir. ( v ) ile gösterilir.

Açısal hız (w) : Yarıçap vektörünün birim zaman içinde taradığı açıya açısal hız denir. Cisim t saniyede q açısını taramış ise , açısal hız w = q/t  olur. Cisim bir tam dönme yaptığında geçen

zaman T ve yarıçap vektörü tarafından taranan açı 2 p radyan olduğundan , w = 2 p /T veya  

w = 2 p f olur.

      Bir açının gördüğü yayın yarıçapa oranı , bu açının radyan cinsinden değeridir.

360° = 2 p radyandır.

 m kütleli bir topun, r uzunluğunda bir ipin ucuna bağlandığını ve yatay düzlemdeki dairesel yörüngede sabit hızla döndürüldüğünü varsayalım. Topun eylemsizliği, hareketin doğrusal bir yol boyunca kalmasını sağlamak eğilimindedir. Ancak, ipin topa uyguladığı kuvvet, dairesel yörüngede kalmasını sağlar. Bu kuvvet, ip boyunca ve merkeze yönelmiş durumdadır. Şekil 6.1 de görülen bu kuvvet merkezcil kuvvetler olarak adlandırılan kuvvetler sınıfına bir örnektir.

Newton’un ikinci yasasını yarıçap doğrultusu boyunca uygularsak, gerekli merkezcil kuvvet,

 F r = ma r = m v²/ r

olarak bulunur. Merkezcil ivmeye benzer şekilde, merkezcil kuvvet de parçacığın çizdiği dairesel yörüngenin merkezine doğru etki eder. Bu kuvvetler, dönme merkezine doğru etkidiklerinden, hızın doğrultusunda bir değişmeye neden olurlar. Merkezcil kuvvetler, karşılaşılan diğer kuvvetlerden farklı değildir. Merkezcil terimi, basitçe kuvvetin daire merkezine yönelmiş olmasından dolayı kullanılır. Bir ipin ucuna bağlanarak döndürülen top durumunda;merkezcil kuvvet, ipteki gerilme kuvvetidir. Dünya etrafında dairesel yörüngede dönen bir uydu için, kütle çekim kuvveti bir merkezcil kuvvettir. Virajı dönen bir araba için sürtünme kuvveti merkezcil kuvvettir. Buna benzer pek çok örnek verilebilir.

Kullanılan örneklere bakılmaksızın bir cismin üzerine etki eden merkezcil kuvvet ortadan kalkarsa, cisim dairesel hareketini sürdüremez;dairesel yörüngeye teğet olan doğrusal yörüngede hareket eder.  İp herhangi bir anda koparsa cisim, ipin koptuğu anda yörüngeye teğet çizilen doğru boyunca hareketini sürdürür.

Genelde bir cisim, sürtünme kuvveti, çekim kuvveti veya değişik kuvvetlerin bileşkesinin etkisiyle dairesel hareket yapabilir. Şimdi, bazı düzgün dairesel hareket örneklerini inceleyelim.her durumda, cismin dairesel yörüngede dolanmasına neden olan dış kuvveti veya kuvvetleri görelim.

Harekette merkezcil kuvvet ipteki  T gerilmesi olduğundan; T= Fmerkezcil eşitliğinden bulunur:

                                  T = F merkezcil

                                  T = m v²/ r

eşitliğinden v çözülerek,

        
         elde edilir.

Ne Kadar Hızlı Dönebilir?

  Harekette merkezcil kuvvet ipteki T gerilmesi olduğundan T = Fmerkezcil eşitliğinden bulunur.

KONİK SARKAÇ :

  Küçük bir cisim  L uzunluklu iple tavana asılmıştır. Bu cisim Şekil 6.3 te görüldüğü gibi  r yarıçaplı yatay dairesel bir yörünge üzerinde sabit v hızıyla dönmektedir. Askı ipinin bir koni yüzeyi taramış olmasında dolayı bu sistem  konik sarkaç olarak tanımlanır.

Cismin Hızı ve Tp Periyodu:

  m kütlesi için serbest-cisim diyagramı görülmektedir. Burada T gerilmesi, T cos q değerinde düşey bileşene, T sin q  değerinde dönme merkezine yönelmiş yatay bileşene ayrılmıştır. Cisim düşey doğrultuda ivmelendiğinden, gerilmenin düşey ağırlık tarafından dengelenmelidir. Bundan dolayı;

                        T cos q = m g

olur. Örnekteki merkezcil kuvvet T sinq tarafından sağlandığı için, Newton’un ikinci yasasından; 

                        T sin q  = m a r = m v² /r

yazılır.(2) eşitliği, (1) eşitliğine bölünüp T yok edilerek

                        tan q = v²/r g

bulunur.Fakat şekle göre r = L sin q olduğuna dikkat edilirse

olduğu bulunur. Tp  dolanma periyodu (T gerilmesi ile karıştırılmamalıdır) aşağıdaki gibi elde edilir.

 

       (3) eşitliğinin eldesinde kullanılan cebirsel işlem okuyucuya bırakıldı. Tp nin m kütlesinden bağımsız olduğuna dikkat ediniz. L= 1,00 m. ve q =20° ise (3) eşitliğini kullanarak Tp  yi hesaplayabiliriz;

Arabanın Maksimum Hızı Nedir?

  Arabanın dairesel yörüngede hareket etmesine imkan sağlayan merkezcil kuvvet statik sürtünme kuvvetidir. Buna göre aşağıdaki eşitlikte sürtünme kuvveti bulunur;

                        f s = m v²/r

Arabanın virajı dönebileceği maksimum hız, arabanın yoldan dışarı doğru kaymasına karşı gelen hızdır. Bu noktada statik sürtünme kuvveti aşağıda verilen maksimum değere sahiptir;

                        f s maks  = K N

Bu duruma N normal kuvvet, ağırlığa eşittir.

Dönemeçli  Yokuş:

  Eğimli olmayan dönemeçte, merkezcil kuvvet araba ile yol arasındaki sürtünme kuvveti tarafından sağlanmalıdır. Ancak yol, şekil 6.5 teki gibi q açısı kadar eğimli yapılırsa, N normal kuvvetinin yatay bileşeni olan  N sinq   kuvveti arabanın hareket ettiği virajın merkezine doğru yönelmiştir. Burada merkezcil kuvvetin sadece N sin q kuvveti tarafından sağlandığı kabul edilmiştir. Böylece herhangi bir sürtünme kuvvetine ihtiyaç duyulmadan dönüş için gerekli olan eğim açısını bulabiliriz.Diğer bir deyimle araba belirli bir hızla yüzey buzlu olsa da virajı dönebilecektir. Yarıçap doğrultusu için Newton’un ikinci yasası yazılırsa merkezcil kuvvet elde edilir.

Uydu hareketi:

  Dünya çevresinde  dairesel yörüngede hareket eden bir uyduyu inceler.Birbirinden r kadar uzakta m1 ve m2  kütleleri iki cisim arasında ki çekim kuvvetinin

 

olduğunu bilmeliyiz.Burada



dir.           

Çember Etrafında Dönen Uçak:

  Pilota etkiyen kuvvetler mg ağırlığı ile koltuğun yukarı doğru uyguladığı  Nalt  dır. Merkezcil ivmeyi oluşturan yukarı yönelmiş bileşke kuvvet  N alt – mg dir. Yarıçap doğrultusu için Newton’un 2. yasası uygulanırsa

                        N alt – m g = mv²/r

bulunur.

    DÜZGÜN OLMAYAN DAİRESEL HAREKET

            Dairesel bir yörüngede, hızının şiddeti değişerek hareket eden parçacığın merkezcil ivmesinin yanında, dv / dt büyüklüğünde bir teğetsel ivmesi de vardır. Bu nedenle parçacığa etki eden kuvvetin hem merkezcil hem teğetsel bileşeni olmalıdır. Yani, toplam ivme     a = ar + at olduğundan, parçacığa etki eden toplam kuvvet  F = Fr + Ft  ile   verilir  ve Bu kuvvetin Fr vektör bileşeni, dairenin merkezine yönelmiştir ve merkezcil ivmeyi oluşturur. Kuvvetin Ft  vektör bileşeni yörüngeye teğettir ve teğetsel ivmenin meydana gelişinden sorumludur. Parçacığın hızının zamanla değişmesine sebep olur. Aşağıdaki örnek bu tip hareketi açıkça anlatmaktadır,

Dönen Top:

  m kütleli küçük bir küre  R uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanarak düşey düzlemde bir O noktası etrafında dairesel yörüngede döndürülüyor. Cismin hızının V olduğu ve ipin düşeyle  q  açısı yaptığı bir anda, ipteki gerilme şöyle hesaplanır;

            Hızın düzgün olmasına dikkat edilmeli, ağırlığın teğet bileşeni teğetsel ivmeyi oluşturur. Newton’un 2. hareket yasasının uygulanmasıyla

bulunur. İvmenin bu bileşeni V hızının zamanla değiştiğini ifade eder. Çünkü at = dv/dt dir. Newton’un 2. yasasının yarıçap doğrultusunda uygulanmasından,

İVMELİ SİSTEMDE HAREKET

Bir parçacık eylemsizlik koordinat sistemindeki bir gözlemciye göre a ivmesiyle hareket ediyorsa eylemsiz gözlemci Newton’un ikinci yasasını kullanabilir ve åF= m.a  ifadesini doğru olarak açıklar. Gözlemci , ivmeli referans sistemi içinde ise ve parçacığın hareketine Newton’un 2.Yasasını uygulamak isterse yalancı kuvvetlerle karşılaşır. Bu yalancı kuvvetlere bazen eylemsizlik kuvvetleri  de denir.Bu kuvvetlerin ivmeli gözlemci tarafından , ivmeli sistem içinde gerçek kuvvetler olarak göründüğü açıklanmıştır.Ancak bu yalancı kuvvetlerin , hareket , eylemsiz koordinat sisteminden gözlendiği zaman mevcut olmadıkları belirtilmelidir. Yalancı kuvvetler , sadece ivmeli bir sistem içinde kullanırlar. Fakat bunlar cisimlere etki eden gerçek kuvvetleri temsil etmezler.İvmeli referans sisteminde yalancı kuvvetler özel olarak belirlenmişler ise, o zaman bu referans sisteminde hareket, eylemsiz sistemden sadece gerçek kuvvetleri dikkate alarak yapılan hareketle aynı olacaktık. Genellikle , hareketler eylemsiz referans sistemleri kullanılarak analiz edilir.Fakat eylemli referans sistemlerinin kullanılmasının daha elverişli olduğu durumlar da vardır.

Döner sistemlerdeki hareketi daha iyi anlamak için virajlı bir yolda yüksek hızda giden bir arabayı göz önüne alabiliriz. Araba virajda sola keskin bir dönüş yapar yapmaz yolcu koltuklarında oturan şahıslar sağa doğru kayarlar ve kapıya çarparlar. Tam o noktada kapının onlara uyguladığı kuvvet, arabadan dışarı fırlamalarını önler.

Araba viraja girmeden önce yolcular doğrusal bir yolda hareket ediyorlar araba viraja girer girmez ise eğrisel bir yörüngeye giriyorlar. yolcular, eylemsizliklerinden dolayı önceden girmekte oldukları doğrusal yolda devam etme eğilimindedirler. Bu eğilim Newton’un 1. yasasının bir sonucudur. Cisim doğrusal yörüngede hareketine devam etmek ister ancak yolculara uygulanan merkezcil kuvvet (eğrini merkezine doğru), yeterince büyükse yolcular araba ile birlikte eğri yörüngede hareket eder. Bu merkezcil kuvvetin kaynağı yolcularla araba koltukları arasındaki sürtünme kuvvetidir.Sürtünme kuvveti yeterince büyük değilse yolcular arabanın dönüşü devam ettiği sürece koltuğun karşı tarafına doğru kayacaklardır. Sonunda yolcu kapı ile karşılaşacaktır. Kapı (açılmadığı için) yolcuya araba ile birlikte virajı dönebilmesine yeterli olan merkezcil kuvveti uygulayacaktır.

Özet olarak , bir kimse ivmeli bir referans sisteminde hareketi anlatırken , yalancı kuvvetleri gerçek kuvvetlerden çok dikkatlice ayırt etmelidir. Bir virajı dönen araba içindeki bir gözlemci ivmeli bir referans sistemi içindedir.onu dışarı doğru fırlatan kuvveti açıklamak için , dışarı doğru çeken bir yalancı kuvvetin varlığını kabul eder. Arabanın dışında durgun olan bir gözlemci sadece yolcu üzerinde etki eden gerçek kuvvetleri görür. Bu gözlemciye göre dışarı doğru yönelmiş merkezkaç kuvveti mevcut değildir. Yolcuya etki eden gerçek dış kuvvet, virajın merkezine doğru yani içe yönelmiş olan merkezcil kuvvettir. Bu merkezcil kuvvet ya yolcu ile koltuk arasındaki sürtünme kuvvetidir ya da kapının yolcuya uyguladığı normal kuvvettir.