EVRENSEL ÇEKİM

NEWTON’UN GENEL ÇEKİM YASASI:

    Evrendeki tüm cisimler birbirini çeker.Güneş gezegenleri, gezegenler uyduları, gezegenler güneşi, masa kül tablasını, kül tablası sigarayı vb. hep çekerler.Tüm bu çekim kuvvetleri “kütle çekim kuvveti” adını alır. “Newton’un Genel Çekim Yasası” bu kuvveti nicel olarak ifade eden bir yasadır.

    İki cisim arasındaki çekim kuvveti cisimlerin kütleleri ile doğru orantılı, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır.Çekim kuvvetinin büyüklüğü aşağıdaki formül ile ifade edilir.

Bu formüldeki G’ye genel çekim sabiti denir.SI birim sistemindeki değeri

G sabiti cisimlere, cisimlerin yerlerine ve hareket hallerine bağlı değildir.

1)Birbirini çeken kütleler ne olursa olsun, daima F1=-F2’dir.Yani, cisimlerin birbirine uyguladığı çekim kuvveti daima eşit değerde ve ters yöndedir.Örneğin, Dünya Ay’ı ne kadarlık kuvvetle çekerse, Ay da Dünya’yı aynı şiddette çeker.Dünyanın bir cisme uyguladığı kuvvet, o cismin ağırlığını oluşturur.Sözgelimi ağırlığı 650 Newton (yaklaşık 65 kg) olan bir kimse, Dünya tarafından 650 Newton’luk  bir kuvvetle çekiliyor demektir.Bu kimse de Dünyayı 650 Newton’luk kuvvetle kendine doğru çeker.Diyeceksiniz ki, madem biz de Dünya’yı çekiyoruz, neden hep biz onun üzerine düşüyoruz?Tabi  ki öyle olacak!Büyük kütlelere hareket vermek zordur.Bu nedenle Dünya bizim üzerimize değil, biz onun üzerine düşeriz!

2)Kütle çekim kuvveti hesaplanırken cisimlerin kütleleri, kendi kütle merkezinde toplanmış noktasal kütle gibi alınır.

3)Cisimlerin arasındaki uzaklık olarak da kütle merkezleri arasındaki uzaklık alınır.

GENEL ÇEKİM YASASI ÜZERİNE UYGULAMALAR

Dünya’nın Kütlesinin Bulunması:

    Deniz seviyesinde serbest düşme ivmesi g olsun ve Dünya’nın kütlesi M olsun.Kütlesi m olan bir cismin deniz seviyesindeki ağırlığı mg, bu cisme uygulanan genel çekim kuvvetine eşit olmalıdır.

Yer kabuğunun yoğunluğu 2,5gr/cm³ olduğuna göre, demir nikel... gibi yoğunluğu büyük madenlerin dünyanın merkezinde toplandığı anlaşılır.

Güneş’in Kütlesinin Hesaplanması:

    Dünya’nın kütlesi M1, Güneş’in kütlesi M2 olsun.Dünya’nın Güneş etrafında düzgün dairesel hareket yaptığını kabul ederek, genel çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşit yazılır.

Dünya Etrafında r Yarıçaplı, Dairesel Yörüngede Dolanan  Yapma Uydunun Yörünge Hızı:

    M1  uydunun M2 Dünya’nın kütlesi olsun.Uydunun r yarıçaplı yörüngeyi koruyabilmesi için, F merkezcil kuvvetinin F' genel çekim kuvvetine eşit olması gerekir.

    G ve M2 sabit olduğuna göre her r değerine karşılık bir yörünge hızı vardır.Kritik hız veya kaçma hızı, bir uzay gemisinin Dünya’yı terketmesi için gerekli en küçük hız olup genel çekim kanunu ile kolayca hesaplanabilir.Atmosferimizi oluşturan gaz moleküllerinin normal sıcaklıktaki ortalama hızları kritik hız değerinden çok küçük olduğu için dünyamızın atmosferi korunabilmektedir.Yani Dünya kütlesi şimdikinden daha küçük olsaydı atmosferimiz dünyayı terk edecekti.Daha büyük olsaydı gaz molekülleri yere çok yaklaşarak atmosfer kalınlığı birkaç metre olacaktı.Her iki durumda da canlılar için hayat mümkün olmayacaktı.

-Çekim Alanı:

    Bir gezegenin birim kütleye uyguladığı çekim kuvvetine o gezegenin çekim alanı denir ve vektörel bir büyüklüktür.

    Gezegenin m kütlesine uyguladığı çekim kuvveti   F   ise  birim kütleye uyguladığı kuvvet

 F/m olacağından  çekim alanı g=F/m olur.Alan ivme boyutundadırve bu nedenle g'ye

çekim ivmesi de denir.Birimi N/kg, ya da ms² dir.

-Çekim Alanın Şiddeti Nelere Bağlıdır:

    Kütlesi M olan bir gezegenden r uzaklıkta m kütleli bir cisim düşünelim.Gezegenin bu cisme

-Gezegen Yüzeyinde ve İçinde Çekim Alanı:

Gezegenin yarıçapı R ise yüzeyindeki çekim alanı g=G*(M/r²)  olacağından çekim alanı;kütleyle
 doğru orantılı, yarıçap karesiyle ters orantılıdır.Yani, kütlesi büyük gezegenlerin çekim alanı daha büyük; buna karşılık yarıçapları büyük gezegenlerin çekim alanı ise zayıf denebilir.Ancak burada bir şey var, onu gözardı etmeyelim: Gezegenin kütlesi ile yarıçapı arasında da bir ilişki vardır.Gezegenin yarıçapı büyükse kütlesi de büyüktür.O halde yarıçapın büyük olması kütleyi büyüteceği için çekim alanını arttırır.Öte yandan yarıçapın büyümesi uzaklığı arttırmış gibi olacağından çekim alanını zayıflatır.Bu çelişkiyi nasıl açıklarız?Bunun için şöyle düşünelim: Gezegenin kütle yapısını türdeş kabul edelim.Bu durumda sabit bir ortalama özkütlesi olur.Gezegenin özkütlesi p, yarıçapı R ise hacmi

Dünya’nın Dönmesinin Yerçekimi Alan Şiddetine Etkisi:

    Dünyamız kendi ekseni etrafındaki bir turunu 24 saatte tamamlar.Yerin yarıçapını yaklaşık 6400 km alırsak ( Ekvator yarıçapı: 6378 km ), ekvator üzerindeki bir noktanın çizgisel hızı yaklaşık 460 m/sn’  dir.Yani ekvator üzerindeki bir noktanın dönüş hızı, ses hızının yaklaşık 1,5 katıdır.Bu hızlı dönüşten dolayı ortaya çıkan merkezkaç kuvveti, yerçekimi kuvvetini azaltıcı etki yapar.Yeryüzündeki noktalar,dönme eksenine farklı uzaklıklarda bulunduğundan dönmenin yerçekimine etkisi, noktadan noktaya değişik olur.Şimdi bu etkiyi saptamaya çalışalım.

    Kütlesi m olan bir cisim, aşağıdaki şekildeki gibi, ekvator düzlemiyle  θ açısı yapan bir konumda bulunsun.Bu  θ  açısına enlem açısı denir.Cismin eksen çevresinde dönme yarıçapı r² dir.Cisme, dönmeden dolayı etkiyen merkezkaç kuvveti r’nin doğrultusunda, dışa doğru ve  m.ω².r dir.Bu kuvveti şekildeki gibi dik bileşenlerine ayırırsak, m.ω².r.Cos θ bileşeni m .g’ye ters yönde olduğundan, ağırlığı azaltıcı etki yapar.Bu durumda cismin ağırlığı,m.g-m.ω².r.Cos θ değerinde olur.Bu

yerçekimi ivmesi, cismin yeryüzünde bulunduğu enleme göre değişmektedir.Ayrıca yer küre tam bir küre olmayıp kutuplarda basık olduğundan R de enleme göre değişir.

Ağırlığın Yükseklikle Değişmesi:

KÜTLE ÇEKİM POTANSİYEL ENERJİSİ

    Yerçekimi potansiyel enerjisi m.g.h’dir.Bu da ancak yeryüzüne yakın noktalarda geçerlidir.Şimdi bu potansiyel enerjinin hiçbir koşula bağlı olmayan en genel şeklini vermeye çalışacağız.

    Kütlesi olan her varlık bir çekim kuvveti oluşturur.Cisimler bir arada bulunurken birbirlerine uyguladıkları çekim kuvveti nedeniyle bir potansiyel enerjiye sahip olurlar.Bu potansiyel enerji ancak sonsuzda sıfırdır.Çünkü sonsuz uzaklıkta çekim kuvveti sıfır olur.Üstelik potansiyel enerji sonsuzda maksimum değere de sahiptir.Çünkü birbirini çeken iki cismi ne kadar uzaklaştırırsak o kadar çok iş yaparız.Yapılan bu iş sistemin potansiyel enerjisini arttırır.Demek ki birbirini çeken cisimleri uzaklaştırdıkça sisteme daha çok enerji depolanmaktadır.İşte bu nedenle kütleler sonsuz uzaklıktayken maksimum enerjiye sahiptirler.Buna göre ortaya şöyle bir durum çıkıyor: Potansiyel enerji sonsuzda hem sıfır hem de maksimum.Bu nasıl olur?Nasıl bir değişim bunu sağlar?Artarak sıfıra giden bir değişim bunu sağlar.Bu da başlangıcın negatif değerde olmasıyla mümkündür.ancak negatif değerler alarak artan değişkenler bu değişime uğrar.Öyleyse çekim potansiyel enerjisi negatif olmalıdır.

    İki kütleyi birbirinden uzaklaştırırken çekim kuvvetine karşı bir iş yaparız.Yapılan bu iş kütleler sistemine potansiyel enerji olarak depolanır.O halde çekim kuvvetini yenmek için yapılan iş, potansiyel enerjideki artışa eşit olacaktır.

KEPLER KANUNLARI:

    Gezegenlerin, yıldızların ve gökyüzündeki diğer cisimlerin hareketleri binlerce yıl insanlar tarafından gözlenmiştir.Tarihte ilk zamanlar, bilim adamları, dünyayı evrenin merkezi gibi saydılar.Yermerkezli model de denilen bu model, Yunan astronomu Cladius Ptolemy tarafından milattan sonra ikinci yüzyılda biçimlendirilmişti ve takibeden 1400 yıl boyunca kabul gördü.1543 yılında Polonyalı astronom Nicolaus Copernicus dünyanın ve diğer gezegenlerin güneş etrafında dairesel yörüngelerde dolandıklarını teklif etti (güneş merkezli hipotez).

    Danimarkalı astronom Tycho Brahe, 20 yıllık bir periyot boyunca, hassas astronomik gözlemler yaptı ve güneş sisteminin halen kabul edilen modelinin temellerini verdi.Gezegenler ve çıplak gözle görülebilen 777 yıldız üzerinde yapılan bu hassas gözlemelerin, henüz teleskop icat edilmediğinden, büyük bir sekstant (yükseklik ölçer) ve pusulayla yapıldığı dikkat çekicidir.

    Brahe'nin öğreticisi olan Johannes Kepler, Brahe'nin astronomik verileri adlı ve gezegenlerin hareketlerine ait bir matematiksel model çıkartmak için yaklaşık 16 yıl uğraştı.Yorucu bir çok hesaplamalardan sonra, Brahe'nin , Mars'ın güneş etrafındaki dönmesine ait hassas verilerin cevabı sağladığını gördü.Dünya güneşin etrafında hareket ettiğinden, bu gibi verilerin sınıflandırılması zordur.Kepler ilk önce, güneş etrafındaki dairesel yörüngeler fikrinin bırakılması gerektiğini gösterdi.Sonunda Kepler, Mars'ın yörüngesinin, odak noktalarından birinde güneşin bulunduğu bir elipsle doğru bir şekilde tarif edilebileceğini gösterdi.Daha sonra bu fikri bütün gezegenlerin hareketlerini kapsayacak şekilde genelleştirdi.Bunlar kepler yasaları diye bilinen, üç ifadede özetlenir.

1-Kepler'in Birinci Yasası (Yörüngeler Kanunu):

Bütün gezegenler, odak noktalarından birinde güneş bulunan eliptik yörüngelerde dolanırlar.

2-Kepler'in İkinci Yasası (Alanlar Kanunu):

(a)Bir gezegen üzerine etki eden kuvvet güneşe doğru, yarıçap vektörü boyunca etkir.(b)Bir gezegen güneş çevresinde dönerken yarıçap vektörünün bir dt zamanında süpürdüğü; r ve dr = v.dt vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

    Güneşin çevresinde eliptik bir yörüngede hareket eden m kütleli bir gezegen (veya kuyruklu yıldız) düşününüz:Gezegenin üzerine etki eden çekim kuvveti daima yarıçap vektörü boyuncadır ve güneşe doğru yönelmiştir.Sabit bir noktaya veya ondan uzağa doğru yönelmiş böyle bir kuvvet (yani, sadece  r'nin fonksiyonu olan bir kuvvet) merkezi kuvvet adını alır.Bu merkezi kuvvetten dolayı gezegenin üzerine etkiyen döndürme momenti (tork), F'nin r'ye paralel olmasından dolayı açıkça sıfırdır.Yani

     Fakat, döndürme momenti, açısal momentumun zamanla değişme hızına eşittir.Yani τ=dL / dt ‘dir.

Bu nedenle τ=0 olduğu için, gezegenin açısal momentumu (L), bir hareket sabitidir:

L = r.p = mr. V = sabit

    L hareketin bir sabiti olduğu için, gezegenin herhangi bir anadaki hareketi; r ve v tarafından oluşturulan düzlem üzerindedir.

    Bu sonucu şu geometrik düşünceyle aktarabiliriz.Şekil  b) deki  r yarıçap vektörü, bir dt zamanda dA alanını süpürür.Bu alan r ve dr vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın  alanının yarısına eşittir.Gezegenin bir dt zamandaki yer değiştirmesi dr = v.dt ile verildiğinden 

elde edilir.Burada L ve m nin her ikisi de hareketin sabitleridir.Böylece "güneşten herhangi bir gezegene uzanan yarıçap vektörü, eşit zamanlarda eşit alanlar süpürür" sonucuna varırız.Kepler'in ikinci yasası olan bu sonucun, çekim kuvvetinin bir merkezi kuvvet oluşundan kaynaklandığı ve onunda dolaylı olarak açısal momentumun korunumunu ifade ettiğini kavramak önemlidir.Bundan dolayı kanun, ister ters kare olan isterse olmayan bir merkezi kuvvet ihtiva eden herhangi bir durum için geçerlidir.

    Çekim kuvvetinin ters-kare olma özelliği, Kepler'in ikinci yasası tarafından ortaya konmamıştır.Her ne kadar burada ispat etmediysek de, Kepler'in birinci yasası çekim kuvvetinin şeklinde değişmesinin doğrudan bir sonucudur.Yani, bir ters-kare kuvvet yasası altında, gezegenlerin yörüngelerinin, odaklarından birinde güneş bulunan elips olduğu gösterilebilir.

3-Kepler'in Üçüncü Yasası (Periyotlar Kanunu):

Herhangi bir gezegenin yörünge periyodunun karesi, eliptik yörüngesinin büyük ekseninin yarısının kübüyle orantılıdır.

    Kepler'in üçüncü yasasının , dairesel yörüngelere ait ters-kare yasasından çıkarabileceğini göstermek aydınlatıcıdır.Kütlesi Ms olan güneşin etrafında dairesel bir yörüngede şekildeki gibi hareket eden Mp kütleli bir gezegen düşünelim.Gezegenin üzerine etkiyen çekim kuvveti, gezegeni bir dairesel yörüngede tutmak için gerekli merkezcil kuvvete eşit olduğundan

yazılabilir.

Fakat, T gezegenin periyodu olmak üzere,gezegenin yörüngesel hızı basitçe 2πr/T dir,bu yüzden  ifade

  haline gelir, burada Ks bir sabittir ve

   ile verilir.

 Yukarıdaki eşitlik, Kepler'in üçüncü yasasıdır.Eğer r'yi elipsin büyük-eksenin yarısı olan a ile değiştirirsek yasa eliptik yörüngeler için de geçerli olur.Orantı sabiti Ks, gezegenin kütlesinden bağımsızdır.Bu yüzden eşitlik herhangi bir gezegen için geçerlidir.Dünya çevresindeki bir uydunun yörüngesini dikkate alırsak,mesela ay gibi, o zaman, güneşin kütlesi dünyanın kütlesiyle değiştirileceğinden, sabit, farklı bir değer alacak ve bu durumda orantı sabiti  4π²/GMy'ye eşit olacaktır.